Observaciones
En la definición anterior:

• Es importante observar que los y los existen por ser .
• Si además fuese , entonces los y los , coincidirían con los mínimos y máximos correspondientes . Por ejemplo:

Proposición elemental

Esto nos indica que, la suma inferior de f para la partición P es menor o igual que la suma superior de f para la misma partición P.
Para la construcción del concepto de integral sería deseable que tal desigualdad se cumpliese para particiones distintas, es decir que: . Nos encaminamos a demostrarlo, pero antes de ello, una definición y un lema.

Definición

También se acostumbra decir que Q refina a P. Por ejemplo: Q={-2,-1,0,0.5,1,1.3,2,2.5,3} es una partición de [-2,3] y es un refinamiento de la partición P={-2,-1,0,0.5,1.3,2,2.5,3} del mismo intervalo [-2,3]. En este caso Q tiene un elemento de más (el 1) con respecto a P, sin embargo podría tener cuantos se quisieran, pero en número finito.

Lema


Es decir, las sumas inferiores crecen al refinar una partición y al contrario, las sumas superiores decrecen.

Teorema 1


Consecuencias del Teorema 1

• Cualquier suma superior es cota superior del conjunto de todas las sumas inferiores.
• Por tanto: .
• Pero esto a su vez, significa que es cota inferior del conjunto de todas la sumas superiores.
• Y por tanto: .

En la siguiente sección profundizaremos en estas consecuencias del teorema 1, ya que son de gran importancia para definir si una función es integrable o no.