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Planteamiento de una ecuación lineal a partir de un problema
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Vínculo curricular

ASIGNATURA: Matemáticas IV.

Unidad VII: Ecuaciones y desigualdades.

Tema: Ecuación de primer grado.

Aprendizajes esperados:

  • Traducirá un problema del lenguaje llano al lenguaje algebraico.
  • Identificará la incógnita del problema y los elementos que componen la ecuación.
  • Formulará y resolverá la ecuación de primer grado resultante.
  • Conocerá algunos rasgos biográficos de Diofanto.

Recurso educativo desarrollado para el plan de estudios de la ENP de la UNAM. Versión 1.0.0

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CRÉDITOS

  • DGTIC
  • Diseño didáctico:
    • María Juana Linares Altamirano
    • Héctor de Jesús Argueta Villamar
  • Diseño gráfico:
    • Elizabeth Ortiz Caballero
  • Desarrollo de sistemas:
    • Yessica Arredondo Guzmán
  • Coordinación de diseño didáctico :
    • Rebeca Valenzuela Argüelles
  • Coordinación del desarrollo:
    • Mario Alberto Hernández Mayorga
  • Coordinación del proyecto:
    • Teresa Vázquez Mantecón
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Planteamiento de una ecuación lineala partir de un problema

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Planteamiento del problema

Su obra Aritmética, su nombre Diofanto y su vida una incógnita

En su Aritmética Universal, Isaac Newton escribió: “Para resolver un problema de números o relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema, del inglés u otra lengua al idioma algebraico”. Se puede decir que el idioma del Álgebra son las ecuaciones. Esto se aplica con justeza al matemático Diofanto de Alejandría, cuya fama se debe a su obra Aritmética que constaba de trece libros de los cuales sólo se han hallado seis. Esencialmente no se sabe nada de su vida y hay mucho debate respecto a las fechas en que vivió. Los mayores detalles que se tienen sobre la vida de Diofanto (que pudieran no ser exactos) provienen de la Antología Griega recopilada por Metrodoro alrededor del año 500 d.C. En ella se reporta un epitafio en la tumba de Diofanto que dice:

¡Caminante!, Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto y los números pueden mostrar, ¡oh, milagro!, cuán larga fue su vida, cuya sexta parte, constituyó su hermosa infancia.

Había transcurrido además la duodécima parte de su vida, cuando de vello se cubrió su barbilla y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril.

Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito, que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, que duró tan solo la mitad de la de su padre en la tierra.

Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo.

¿Dime cuántos años había vivido Diofanto cuando le llegó su muerte?

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Representa el tiempo que duró su infancia. $d/6$
Representa el tiempo transcurrido después de su infancia para que su barbilla se cubriese de vello. $d/12$
Representa la parte de su vida que transcurrió en un matrimonio estéril (sin hijos). $d/7$
Representa los años posteriores a dicho matrimonio en que nace su primogénito. $5$
Representa los años que vivió su primogénito. $d/2$
Representa los años que sobrevivió Diofanto a la muerte de su primogénito. $4$

¡Caminante!, Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto y los números pueden mostrar, ¡oh, milagro!, cuán larga fue su vida, cuya sexta parte, constituyó su hermosa infancia.

Había transcurrido además la duodécima parte de su vida, cuando de vello se cubrió su barbilla y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril.

Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito, que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, que duró tan solo la mitad de la de su padre en la tierra.

Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo.

¿Dime cuántos años había vivido Diofanto cuando le llegó su muerte?

Solución de la ecuación:

$d = d/6 + d/12 + d/7 + 5 + d/2 + 4 $
1.Agrupas los términos semejantes en el lado derecho de la ecuación:$d = d/6 + d/12 + d/7 + d/2 + 9$
2.Factorizas la incógnita d en el lado derecho de la ecuación:$d = d(1/6 + 1/12 + 1/7 + 1/2) +9$
3.Calculas el mínimo común múltiplo de los denominadores:$mcm(6,12,7,2)=84$
4.Escribes las fracciones con el mínimo común denominador:$d = d(14/84 + 7/84 + 12/84 + 42/84) +9$
5.Sumas las fracciones:$d = d(75/84) +9$
6.Agrupas términos semejantes y factorizas d:$ d(1 - 75/84) = 9$
7.Realizas la operación:$d(9/84) = 9$
8.Despejas d:$d = 84$
Comprobación:
$84/6 + 84/12 + 84/7 + 5 + 84/2 + 4 = 14 +7 +12 +5 +42 +4 = 84 $

Tienes una invitación a reflexionar, individual o colectivamente, para llegar a la solución del problema y yo, como tu profesor de Matemáticas, te acompañaré en el proceso.

  • Lo primero será leer la descripción del problema, trata de comprender cuál es la incógnita y cómo representarla.


    La incógnita del problema es lo que se desea saber, es lo que se pregunta. Así, ¿cuál crees que es la incógnita?




    Correcto. En efecto, la pregunta ¿Dime cuántos años había vivido Diofanto cuando le llegó su muerte?, nos señala que se desea saber la edad a la que Diofanto murió.
    Incorrecto. Observa, aunque son datos igualmente desconocidos, no es la pregunta que establece el problema. Revísalo y vuelve a intentar.
    Incorrecto. La pregunta ¿Dime cuántos años había vivido Diofanto cuando le llegó su muerte?, nos señala que se desea saber la edad a la que Diofanto murió.
    Puedes pasar a la siguiente pregunta
  • Ahora que sabes que la incógnita es la edad de Diofanto al morir o dicho de otra manera, cuántos años vivió Diofanto, dime

    ¿Puedes elegir cualquier letra para representar dicha incógnita?, por ejemplo:

    d por Diofanto

    e por edad

    x por costumbre o

    g por gusto

    Correcto. Aunque en la mayoría de los libros se acostumbra utilizar x, en realidad, cualquier letra sirve para representar la incógnita, siempre y cuando no se confunda con los datos aportados. Si utilizas d para formular la ecuación, obtendrás el mismo resultado que si utilizas x.
    Incorrecto. Aunque en la mayoría de los libros se acostumbra utilizar x, en realidad, cualquier letra sirve para representar la incógnita, siempre y cuando no se confunda con los datos aportados. Si utilizas d para formular la ecuación, obtendrás el mismo resultado que si utilizas x.

  • Ahora que ya sabemos que podemos representar la incógnita con cualquier letra, siempre y cuando no se confunda con alguno de los datos, lee nuevamente el enunciado del problema y dime ¿Cuántos datos descubres?






    Correcto. Los datos que te proporcionan son:
    1) Su infancia fue la sexta parte de su vida,
    2) Después de su infancia transcurrió la duodécima parte de su vida cuando su barbilla se cubrió de vello,
    3) La séptima parte de su vida estuvo casado y sin hijos,
    4) Cinco años después de aquel matrimonio estéril, nació su primogénito,
    5) Su primogénito vivió la mitad de años de cuantos vivió su padre y
    6) Cuatro años sobrevivió a la muerte de su primogénito.
    Incorrecto. Revisa nuevamente y vuelve a elegir. Observa que te proporcionan al menos 4 datos: sobre su infancia, cuando su barbilla se cubrió de vello, sobre su matrimonio y sobre el nacimiento de su primogénito.
    Incorrecto. Revisa nuevamente y vuelve a elegir. Observa que te proporcionan al menos 5 datos: sobre su infancia, cuando su barbilla se cubrió de vello, sobre su matrimonio, sobre el nacimiento y la muerte de su primogénito.
    Incorrecto. Revisa nuevamente y vuelve a elegir. Observa que te proporcionan al menos 6 datos: sobre su infancia, cuando su barbilla se cubrió de vello, sobre su matrimonio, sobre el nacimiento y la muerte de su primogénito y sobre cuántos años sobrevivió a la muerte de su primogénito.
    Puedes pasar a la siguiente pregunta
    Incorrecto. Los datos que te proporcionan son:
    1) Su infancia fue la sexta parte de su vida,
    2) después de su infancia transcurrió la duodécima parte de su vida cuando su barbilla se cubrió de vello,
    3) la séptima parte de su vida estuvo casado y sin hijos,
    4) cinco años después de aquel matrimonio estéril, nació su primogénito,
    5) su primogénito vivió la mitad de años de cuantos vivió su padre y
    6) cuatro años sobrevivió a la muerte de su primogénito.
  • Ahora será interesante que trates de representar cada uno de los datos que te proporciona el planteamiento del problema. Te sugerimos utilizar la letra d para representar la incógnita.
    Representa el tiempo que duró su infancia.
    Representa el tiempo transcurrido después de su infancia para que su barbilla se cubriese de vello.
    Representa la parte de su vida que transcurrió en un matrimonio estéril (sin hijos).
    Representa los años posteriores a dicho matrimonio en que nace su primogénito.
    Representa los años que vivió su primogénito.
    Representa los años que sobrevivió Diofanto a la muerte de su primogénito.
  • Ahora viene la parte en dónde debes formular la ecuación que te permita despejar la incógnita d, que representa los años que vivió Diofanto. Elige la ecuación correcta: Representación de los datos




    Correcto.En efecto, como d representa los años que vivió Diofanto y los datos del problema se suceden uno tras otro en el tiempo, entonces la suma de todos ellos es igual a d.
    Incorrecto.Observa que en lugar de sumar los años en los que se cubrió de vello su barbilla, los estás restando. Igualmente, estás restando el quinquenio en que lo hizo dichoso el nacimiento de su primogénito.
    Incorrecto.Recuerda que Diofanto le sobrevivió a su hijo cuatro años, es decir, murió cuatro años después que su hijo.
    Puedes pasar a la siguiente pregunta

  • Toma tu cuaderno, haz tus cuentas y coloca en la casilla tu resultado. Representación de los datos


    d = [ ]



    En efecto, si sustituimos d = 84 y realizamos la suma de la derecha en la ecuación del punto 4, tendremos una igualdad. Revisa la Solución que te guiará paso a paso.
    Incorrecto. Revisa la tabla con la representación de los datos y vuelve a intentar.
    Incorrecto. Revisa la Solución que te guiará ṕaso a paso.


  • Además de conocer los años que vivió Diofanto, ya puedes saber que: Representación de los datos


    a) Se casó a los [ ] años. Solución
    b) Tuvo su primogénito a los [ ] años.
    c) Perdió a su hijo a los [ ] años.
Planteamiento del problema
Con la experiencia anterior, ¿podrías plantear algebraicamente y resolver el siguiente problema?

Un padre de familia deja en herencia a sus cinco hijos una cierta cantidad de bonos de mil pesos cada uno y repartidos de la siguiente manera: Un tercio, un cuarto, un quinto y un sexto del total a los cuatro primeros hijos, de mayor a menor. Al más pequeño le deja 3 bonos.

¿Podrías descubrir la cantidad de bonos que dejó en herencia el padre de estos cinco hijos?

Mínimo común múltiplo

Definición

El mínimo común múltiplo de dos o más números naturales, es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos.

Por ejemplo:

  • El mínimo común múltiplo de 2 y 3 es 6. Es fácil ver que de todos los múltiplos comunes de $2$ y $3$, el menor es $6$.
  • El mínimo común múltiplo de 3, 6 y 12 es el 12, ya que es múltiplo de todos y es el menor de todos los múltiplos comunes.
  • El mínimo común múltiplo de 2, 3, 5 y 6 es 30. Lo primero que debes revisar es que ninguno de ellos es múltiplo de todos, por ejemplo, el 6 es múltiplo de 2 y de 3, pero no de 5.
Para ver que el 30 es el mínimo común múltiplo de 2, 3, 5 y 6 puedes construir una tabla con los múltiplos de cada uno de los números y observarás que el primer múltiplo común a todos los números es 30.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
5 10 15 20 25 30
6 12 18 24 30
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Mínimo común denominador

Definición

El mínimo común denominador de dos o más fracciones es el mínimo común múltiplo de los denominadores de todas ellas.

Por ejemplo:

  • El mínimo común denominador de las fracciones $1/2$ y $1/3$ es el mínimo común múltiplo de $2$ y $3$, es decir, $6$.
  • El mínimo común denominador de las fracciones $1/3 , 1/6$ y $1/12$ es el mínimo común múltiplo de $3, 6$ y $12$, es decir, $12$.
  • El mínimo común denominador de las fracciones $1/2 , 1/3 , 1/5$ y $1/6$ es el mínimo común múltiplo de $2, 3, 5$ y $6$, es decir, $30$.
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Suma de Fracciones


La importancia del mínimo común denominador es que nos permite sumar fracciones de una manera más sencilla.

Por ejemplo:

  • Si queremos sumar las fracciones $1/2$ y $1/3 $, procedemos del siguiente modo: Cada fracción la escribimos con el denominador común, en este caso 6 y luego sumamos $1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6 $ ¿Te queda claro que: $1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6$ ? basta multiplicar numerador y denominador por un número, de tal manera que en el denominador quede el mínimo común denominador, 6 en este caso:
    $(1/2)(3/3)= 3/6 $
    $(1/3)(2/2)=2/6$
  • Si queremos sumar las fracciones $1/3 , 1/6$ y $1/12$, la idea es calcular el mínimo común denominador, es decir, el mínimo común múltiplo de $3, 6$ y $12$, que como ya vimos es $12$. Así, escribimos todas las fracciones con este denominador común y sumamos:
    $1/3 + 1/6 + 1/12 = 4/12 + 2/12 + 1/12 = 7/12$
  • Si queremos sumar las fracciones $1/2, 1/3, 1/5$ y $1/6$, entonces debemos calcular el mínimo común múltiplo de $2, 3, 5$ y $6$; que con base en lo visto es $30$. Después escribimos todas las fracciones con ese denominador y las sumamos: $1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/6 = 15/30 + 10/30 + 6/30 + 5/30 = 36/30 = 18/15$
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